江敘思考了一会儿。集训营的十五天,他不仅习惯了,甚至……开始依赖那种日常的共处。每天一起起床,一起学习,一起讨论,一起在深夜交换想法。
“不会。”他最终说,“已经习惯了。”
陆燃笑了,那笑容里有种深沉的温暖:“我也是。”
下午的数论专题果然很难。周老师亲自讲授,内容涉及高次同余、原根、二次互反律的高维推广。许多概念是江敘和陆燃自学的,但周老师讲得更系统,更深入。
“数论的美在于它的纯粹。”周老师站在讲台前,眼睛里有一种数学家特有的光芒,“没有复杂的图形,没有繁琐的计算,只有数字和数字之间的关系。但正是这种纯粹,让它成为数学中最深刻的领域之一。”
他写下一个定理的证明,步骤简洁如诗。江敘看着那些推导,突然理解了周老师说的“纯粹”——就像一首十四行诗,在严格的格律中表达最深刻的情感。
陆燃显然也被这种美打动了。他记笔记的速度比平时慢,不是跟不上,而是在品味,在思考每一步背后的思想。
数论课后是组合专题。这是陆燃的最爱,也是江敘相对薄弱的部分。王教练重新上台,这次他讲的是极值组合和图论中的概率方法。
“组合数学是最需要创造力的领域。”王教练说,“因为很多时候,没有现成的定理可用。你需要自己构造,自己发明方法。”
他举了一个例子:证明在任意10个人中,要么有4个人两两相识,要么有3个人两两不相识。这不是拉姆西定理,而是一个更精细的问题。
“给你们十分钟思考。”王教练说。
江敘尝试用图论方法,但卡在了构造反例上。陆燃则用了不同的思路——他考虑补图,把问题转化为:在10个顶点的图中,要么有4个顶点两两相连,要么有7个顶点两两不相连?
不对,思路乱了。
“时间到。”王教练说,“有人做出来了吗?”
没人举手。这道题确实很难。
王教练开始讲解。他用了非常巧妙的构造:把10个人分成两组,每组5人,然后在组内和组间设计相识关系。构造本身不复杂,但想法很精妙。
“这就是组合数学的特点,”王教练总结,“答案往往很简单,但想到答案的过程需要洞察力。”
陆燃快速记下这个构造方法,然后在旁边写了一行小字:“对称性+极端情况分析”。江湊看到了,突然明白了这个构造的核心思想——利用对称性简化问题,然后考虑极端情况。
果然,组合数学需要的是不同的思维方式。
五点半,所有专题结束。学生们已经精疲力尽,但还有最后一项——模拟题讲解。
周老师发下一套题:“这是去年省赛的真题。你们做一遍,然后我们讲解。”
教室里响起翻页声。江敘快速浏览:六道题,代数、几何、数论、组合各一道,外加两道综合题。难度确实很大,但他感到一种奇异的兴奋——经过今天的训练,他觉得自己有能力挑战这些题。
他和陆燃对视一眼,同时开始答题。
第一题代数,关于多项式根的分布。江敘用了今天上午学到的函数方程思想,很快找到了突破口。
第二题几何,需要添加三条辅助线才能看出全等关系。江敘尝试了王教练教的“寻找不变量”方法,果然发现了隐藏的对称性。
第三题数论,涉及高次同余和原根。这是江敘的强项,他流畅地写下了证明。
第四题组合,极值问题。江敘卡住了。他尝试了几种方法,都找不到合适的构造。
余光看到陆燃已经做到了最后一题。江敘深吸一口气,重新读题。突然,他想到了陆燃在草稿纸上写的那行字:“对称性+极端情况分析”。
他尝试从这个角度思考。如果要求最大值,那么极端情况是什么?如果所有元素都取极端值……
思路打开了。江敘迅速写下构造,然后证明它是最优的。
第五题和第六题是综合题,难度极大。江敘只做出了部分,陆燃也差不多。但对他们来说,能做出一半已经很好了。
七点整,周老师开始讲解。他不仅讲答案,更讲思路的来源,讲如何从题目中提取关键信息,如何选择合适的方法。
“竞赛不是比谁知道得多,”周老师说,“而是比谁能在有限时间内,用已知的知识解决未知的问题。这需要的是思维品质,而不仅仅是知识储备。”
江敘认真地听着。这些话,他以前也听过,但今天有了更深的理解。经过一整天的强化训练,他感觉自己的思维被重塑了——更灵活,更深刻,更善于看到问题的本质。
讲解结束时,已经是晚上八点。十二小时的集训,终于结束。
学生们陆续离开,每个人都带着满脑子的知识和满身的疲惫。江敘和陆燃最后离开教室。
夜空清澈,星星稀疏地闪烁着。春夜的风很温柔,吹散了白天的燥热。
“感觉怎么样?”陆燃问。
“累。”江敘诚实地说,“但很充实。”
“我也是。”陆燃伸了个懒腰,“像大脑做了一次深度按摩。”
这个比喻让江敘笑了。确实,高强度思考后,大脑有种酸痛但舒畅的感觉。
他们慢慢走回宿舍区。路灯把影子拉得很长,在路面上交错。
“下周模拟考,”陆燃说,“有信心吗?”
“有。”江敘说,“但更期待省赛。”
“我也是。”陆燃停下脚步,看着夜空,“想看看在全省的平台上,我们能排到什么位置。”
“想进省队吗?”
“想。”陆燃转头看他,“和你一起进。”
这句话说得很自然,但江敘听出了其中的重量。一起进省队,意味着要继续并肩作战,要一起参加全国赛,要一起走更远的路。
“好。”江敘说,“一起进。”
他们继续走。快到宿舍楼时,陆燃突然说:“对了,上次实验课的赌约——如果模拟考我们进前五,你陪我去个地方。”
“我记得。”
“地方我选好了。”
“哪里?”
陆燃笑了,笑容在路灯下显得很神秘:“到时候告诉你。反正……是一个对我们都很重要的地方。”
江敘看着他,没有追问。他相信陆燃,相信这个赌约,就像相信他们之间的所有约定。
“那我们要考进前五。”江敘说。
“当然。”陆燃伸出手,“击掌为誓?”
江敘抬手,与陆燃击掌。手掌相触的瞬间,发出清脆的声响,在春夜中格外清晰。
“晚安,江敘。”
“晚安,陆燃。”
他们各自走向宿舍楼。江敘回头时,看到陆燃也正好回头。两人相视一笑,然后转身。
回到宿舍,江敘没有立刻洗漱。他坐在书桌前,打开笔记本,在今天的日期下写道:
“最后一次全天集训。强度极大,但收获极大。”
“代数学了解题哲学,几何学了寻找不变量,数论感受了纯粹之美,组合领悟了构造之妙。”
“更重要的是——和陆燃的合作越来越默契。一个眼神,一个动作,就能理解彼此的思路。”
“下周模拟考,目标前五。不是为了赌约,而是为了证明——我们有能力站在更高的地方。”
“省赛在即,前路漫漫。但有他在旁边,一切皆有可能。”
写完,他合上笔记本,看向窗外。夜空中的星星似乎比刚才更亮了。
竞赛之路很艰苦,但也很美好。
因为在这条路上,他遇到了一个值得尊敬的对手,一个可靠的伙伴,一个……越来越重要的人。
而他们的故事,还在继续。
春夜深深。但少年们的心,炽热如初。