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第25章 数学对决

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物理竞赛初赛后的周一,数学竞赛的压力骤然升级。

五月的最后一个星期,距离省赛只剩十天。竞赛教室里的空气紧绷得能拧出水来,十五个学生各自埋头做题,只有笔尖划过纸张的沙沙声,偶尔有谁轻轻叹气,或翻页时纸张的哗啦声。

江敘正在解一道组合极值问题。题目要求证明:在任意n个实数中,总可以选出若干个,使得它们的和与这些数的平均值之差的绝对值不超过某个界。他尝试用概率方法和熵的技巧,但卡在了构造合适的随机变量上。

按照以前的习惯,他会直接转头问陆燃:“这个熵的用法对吗?”或者陆燃会主动凑过来看他的思路。但现在,他们中间隔着林小雨——既是物理上的隔阂,也是心理上的屏障。

江敘抬起头,看向斜后方的陆燃。陆燃正皱着眉头,用笔在草稿纸上快速画着某种图——不是几何图形,更像是某种网络或树状结构。江敘认出那是图论中树的表示方法,看来陆燃也在解图论相关的题目。

他们的目光在空中短暂相遇。陆燃微微挑眉,似乎在问:“有问题?”江敘轻轻摇头,重新低下头。

不能问,不能交流,不能像以前那样自然地讨论。这是“刻意疏离”的规则,是为了“避免不必要的议论”,是为了“注意影响”。

多么讽刺——在数学这个最需要思想交流的领域,他们却被禁止自由讨论。

周老师走进教室时,所有人都抬起头。他手里拿着一叠试卷,表情比平时更加严肃。

“这是去年省赛的真题,”周老师说,“现在进行模拟测试。时间三小时,现在开始。”

试卷发下来。江敘快速浏览:六道题,代数、几何、数论、组合各一道,两道综合题。难度确实比平时的训练题高一个层次。

第一题是关于多项式根的分布。江敘用了辐角原理,但计算很复杂。他花了四十分钟,才得到完整的证明。

第二题几何,需要添加四条辅助线才能看出相似关系。江敘试了三种添加方式,终于找到了正确的组合。

第三题数论,涉及高次同余和原根。这是江敘的强项,他流畅地写下了证明。

做到第四题组合时,时间已经过去两小时。这道题是关于拉姆齐数的下界估计,需要构造一个反例。江敘尝试了随机染色,但不够紧。他想起陆燃上次提到的熵方法,但不确定是否适用。

他再次抬头看向陆燃。陆燃已经做到了最后一题,正在快速书写。按照进度,陆燃应该也卡在了第四题或第五题——因为组合是陆燃的强项,他不会在那道题上花太多时间,而最后一题往往最难。

那么,陆燃会用什么方法解第四题呢?江敘猜测。可能是用概率方法结合二阶矩,也可能是用某种巧妙的确定性构造。

他想问,但不能问。

江敘深吸一口气,重新审视题目。拉姆齐数R(3,3)=6,R(4,4)=18,现在要求估计R(5,5)的下界。已知上界大约是50左右,但下界……需要构造一个49个点的图,使其既不包含5个点的团,也不包含5个点的独立集。

他尝试用循环图构造:将49个点放在一个圆上,每个点连接与之距离为某些固定值的点。但这种对称构造往往会产生意外的团或独立集。

时间一分一秒过去。江敘的额头渗出细密的汗珠。他瞥了一眼时钟——还剩四十分钟,还有两道大题。

他做了一个决定:跳过第四题,先做第五题和第六题。

第五题是代数与数论的综合,关于分圆域的单位群。江敘用了狄利克雷单位定理,虽然证明不完整,但写出了主要思路。

第六题是真正的难题:关于丢番图逼近与动力系统的结合。江敘只做出了第一部分,第二部分完全没思路。

当结束铃声响起时,江敘放下了笔。他的第四题只写了一半的构造,第五题和第六题都不完整。

“停笔。”周老师说。

教室里响起一片叹息声。显然,所有人都被这套题难住了。

“休息十分钟,然后讲评。”周老师说。

学生们陆续走出教室,到走廊里透气。江敘靠在窗边,看着外面五月的阳光。梧桐树的叶子在风中摇曳,投下晃动的光影。

陆燃也出来了,站在离他两米远的地方。这是“适当距离”——足够近,可以低声交谈;足够远,不会引起注意。

“第四题,”陆燃突然开口,声音很轻,“你用了什么方法?”

“循环图构造,”江敘同样低声回答,“但失败了。你呢?”

“我用了随机图加上局部调整。”陆燃说,“先随机染色,然后如果某个局部出现了4个点的单色团,就调整边的颜色破坏它。但时间不够,没调完。”

“第五题呢?”

“单位定理,但第二部分没做出来。”

“第六题?”

“完全没思路。”

简单的对话,快速的信息交换。在这十分钟的休息时间里,他们像两个间谍在交换情报,隐秘,高效,克制。

这是他们现在唯一的交流方式——在规则的夹缝中,在目光的盲区里,用最简短的语言,传递最必要的信息。

十分钟后,讲评开始。

周老师一道题一道题地讲解。第一题,他给出了三种解法,其中一种是江敘没想到的——用洛朗展开和留数定理。第二题,他展示了五种不同的辅助线添加方式,江敘的方法在其中。

第三题,周老师表扬了江敘的证明:“很完整,很严谨。”

第四题,周老师说:“这道题全年级只有两个人做出了完整的构造——陆燃和林小雨。”

江敘看向陆燃。陆燃的脸上没有得意,只有平静。林小雨则微微低下头,似乎有些不好意思。

“陆燃用了随机加调整的方法,”周老师把陆燃的解法投影到屏幕上,“虽然繁琐,但有效。林小雨用了代数图论的方法,很巧妙。”

两种解法都很精彩。江敘认真地看着,学习着自己没想到的思路。

第五题,周老师说:“这道题只有江敘和陆燃做对了第一部分。第二部分,全年级没人做出来。”

江敘和陆燃对视了一眼。这是他们今天第一次真正的眼神交流——不是匆匆一瞥,而是有内容的对视:我们做到了同样的部分。

第六题,周老师摇摇头:“这道题超纲了,是研究生级别的。你们做不出来很正常。但我还是要讲一下思路,开阔你们的视野。”

他讲解了动力系统在数论中的应用,讲解了遍历理论与丢番图逼近的深刻联系。江敘虽然听不懂全部,但感受到了数学的浩瀚和美妙。

讲评结束后,周老师公布了成绩。

陆燃:85分,第一。

江敘:82分,第二。

林小雨:78分,第三。

张哲:75分,第四。

……

三分之差。江敘看着那个数字,感到一种复杂的情绪——不是失落,不是嫉妒,而是一种深沉的共鸣。他知道这三分差在哪里:第四题,陆燃做出了完整的构造,他只做了一半。

“距离省赛还有十天,”周老师说,“这十天,你们要做的不是学新知识,而是巩固已有的,查漏补缺。尤其是——”他看向江敘和陆燃,“你们两个,是冲击省一等奖的主力。但你们现在的分数,还不够稳定。”

他顿了顿,语气变得严厉:“我注意到,最近你们之间的交流变少了。我不知道是什么原因,但我想提醒你们:数学是需要思想碰撞的。闭门造车,永远达不到最高水平。”

这句话说得很直接。教室里安静下来,所有人的目光都投向江敘和陆燃。

江敘感到脸在发热。他知道周老师说的是对的,但他们有他们的难处——那些谣言,那些目光,那些“注意影响”的建议。

“省赛之后,你们想怎么相处我不管。”周老师继续说,“但这十天,为了竞赛,为了学校,也为了你们自己,我希望你们能恢复正常的学术交流。讨论题目,交换思路,互相启发——这是你们作为竞争对手,也是作为队友,应该做的。”

他看向全班:“其他人也是。竞赛不是单打独斗,是团队作战。即使最后是个人成绩,但平时的交流和讨论,对每个人都有好处。”

这番话,既是对江敘和陆燃说的,也是对整个竞赛班说的。既是在推动他们恢复交流,也是在为他们的交流创造正当理由——为了竞赛,为了团队,为了学校的荣誉。

这个理由足够充分,足够正当,足够堵住那些议论的嘴。

下课后,周老师把江敘和陆燃单独留下。

“我知道你们最近在刻意保持距离,”周老师开门见山,“我也知道为什么。但我要说的是——不要让那些无关的东西,影响真正重要的事情。”

他看着他们:“竞赛是你们现在最重要的事情。十天后的省赛,可能决定你们未来几年的发展路径。在这个关键时刻,任何分心都是不明智的。”

“但是……”陆燃想说什么。

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